Доступно о технике

Формула Кирхгофа

Содержание

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Содержание

Полная формулировка задачи и ответа

\frac<\partial^2 u><\partial t^2>-a^2\triangle u = f, где функции u=u(\mathbf<x>,t) и f=f(\mathbf<x>,t) определены на (\mathbf<x>,t)\in\mathbb<R>^n\times \mathbb<R>^+, а \triangle&#160;— оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью aв моменты времени t0.

t=0

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени :

u|_<t=0>=\varphi_0(\bar<x>),\quad \left.\frac<\partial u><\partial t>\right|_<t=0>=\varphi_1(\bar<x>)

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

u(\mathbf<x>,t)= \frac<\partial><\partial t>\left [ \frac<1><4\pi a^2t>\iint\limits_<S>\varphi_0(\mathbf<y>)d^2 S_n \right ] + \frac<1><4\pi a^2t>\iint\limits_<S>\varphi_1(\mathbf<y>)d^2 S_n + \frac<1><4\pi a^2>\iiint\limits_<\left | \mathbf<x>-\mathbf<y>\right | \leqslant at>\frac<f\left ( \mathbf<y>, t-\frac<\left | \mathbf<x>-\mathbf<y>\right | >\right ) ><\left | \mathbf<x>-\mathbf<y>\right | >d^3\mathbf <y>

где поверхностные интегралы берутся по сфере S: \left | \mathbf<x>-\mathbf<y>\right | =at.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Пусть в начальный момент времени t=0на некотором компакте M есть локальное возмущение ( \varphi_0\ne0и/или \varphi_1\ne0). Если мы находимся в некоторой точке \bar<x>_0\in\mathbb<R>^3, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время t_1=\frac<1>\inf_<\bar<y>\in M>\left | \bar <y>- \bar<x>_0\right |.

Вне отрезка времени \left [ t_1; t_2 \right ], где t_2=\frac<1>\sup_<\bar<y>\in M>\left | \bar <y>- \bar<x>_0\right |, функция u(x 0,&#160;t) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в \mathbb<R>^2, уже не будет компактным в \mathbb<R>^3, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт). [1]

Формула Пуассона-Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

u_<tt>=a^2 \triangle u + f (функция f(x,t)соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)

u(\bar<x>,t)=u(x_1,x_2,t)= \frac<1><2\pi a>\int\limits_0^t\iint\limits_<ra(t-\tau)>\frac<f(y_1,y_2,t)dy_1 dy_2 d\tau>\sqrt<a^2(t-\tau)^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2>+

+\frac<\partial><\partial t>\frac<1><2\pi a>\iint\limits_<rat>\frac<\varphi(y_1,y_2)dy_1 dy_2>\sqrt <a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2>+\frac<1><2\pi a>\iint\limits_<rat>\frac<\psi(y_1,y_2)dy_1 dy_2>\sqrt<a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2>.

Формула Д’Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

u_<tt>=a^2 u_ <xx>+ f\quad (функция f(x,t)соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(0,x)=\varphi(x),\quad u_t(0,x)=\psi(x)

u(x,t)=\frac<\varphi(x+at)+\varphi(x-at)><2>+\frac<1><2a>\int\limits^<x+at>_<x-at><\psi(\alpha)d \alpha>+\frac<1><2a>\int\limits^t_0\int\limits^<x+a(t-\tau)>_ <x-a(t-\tau)>f(s,\tau)ds d\tau

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области \mathbb<R>^1\times[0, T]. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: u(x,t)=f(x+at)+g(x-at), то есть оно определяется двумя семействами характеристик: x+at=\xi,\ x-at=\eta. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения \frac<\partial^2 u><\partial t^2>=a^2\triangle u+f(\bar<x>,t) с начальными условиями u(\bar<x>,0)=\varphi_0(\bar<x>),\ u_t(\bar<x>,0)=\varphi_1(\bar<x>) и искать решение в виде суммы трех функций: u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t), которые удовлетворяют следующим условиям:

\frac<\partial^2 A><\partial t^2>=a^2\triangle A+f(\bar<x>,t), \qquad A(\bar<x>,0)=0,\ A_t(\bar<x>,0)=0; \frac<\partial^2 B><\partial t^2>=a^2\triangle B, \qquad B(\bar<x>,0)=\varphi_0(\bar<x>),\ B_t(\bar<x>,0)=0; \frac<\partial^2 C><\partial t^2>=a^2\triangle C, \qquad C(\bar<x>,0)=0,\ \mathit<C>_t(\bar<x>,0)=\varphi_1(\bar<x>).

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть \varphi_1(x,y,z)=\frac<1><1+(x+3y-2z)^2>. Тогда, сделав замену \xi=x+3y-2z, уравнение для задачи «С» примет вид:

\frac<\partial^2 C><\partial t^2>=14a^2\frac<\partial^2 C><\partial \xi^2>, \qquad \mathit<C>(\xi,0)=0,\ C_t(\xi,0)=\frac<1><1+\xi^2>.

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

C(\xi,t)=\frac<1><2\sqrt<14>a>\int\limits_<\xi-\sqrt<14>at>^<\xi+\sqrt<14>at>\frac<d\eta><1+\eta^2>=\frac<1><2\sqrt<14>a>\left ( \operatorname<arctg>(\xi+\sqrt<14>at)-\operatorname<arctg>(\xi-\sqrt<14>at)\right ) .

t0

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области .


Источник: dic.academic.ru